Осінній блог 11-Б класу: Математична сторінка

Ми раді вас вітати на
"Математичній сторінці"

Тут ви знайдете найнеобхідніші формули!
Бажаємо успіхів у навчанні і сподіваємось, що ця веб-сторінка стане вам у нагоді.

Формули 10-го класу

Функції

Функція - це правило, за яким кожній незалежній змінній протиставиться єдине значення залежної змінної. Приклад:

у = х² - 5х + 7,

де х - незалежна змінна (аргумент),

у - залежна змінна (функція).

f - правило (функція).

D( f ) - Область визначення функції - це всі значення, яких набуває незалежна змінна.

E( f ) - Область значень функції - це всі значення, яких набуває залежна змінна.

Графік функції

Графіком числової функції f називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції f.

Нуль функції - це такі значення аргументу, при яких значення функції дорівнюють нулю.

Проміжки знакосталості - це проміжки, на яких функція набуває значень однакового знаку.

Монотонність функції

Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для х₁ та х₂ з цього проміжку, з того, що х₂ > х₁, випливає що у₂ > у₁.

Функція називається спадною на деякому проміжку М, що є підмножиною D( f ), якщо при х₁ ∈ М таких, що х₂ > х₁, випливає що у₂ < у₁.

Функція називається зростаючою (спадною), якщо більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції.

Множини та їх елементи

Рівність множин

Операції над множинами

На даному малюнку літерою Х позначена заштрихована область, що є об'єднанням (перерізом або множиною, відповідно до малюнку).

Формули скороченого множення

Формула дискримінанта

D = b² - 4*a*c

x₁ , ₂ = (- b + √ D) / 2*а

Координати вершини параболи

X = - b / 2*a

Y = 4*a*c - b² = - D / 4*a

Означення 'Sin', 'Cos', 'Tg', 'Ctg'

'Cos' Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи:

$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c},~~~\cos \beta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}~.$
'Sin' Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:

$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},~~~\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}~.$
'Tg' Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:

$\mbox{tg}~ \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b},~~~\mbox{tg}~ \beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}~.$
'Ctg' Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:

$\mbox{ctg}~ \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},~~~\mbox{ctg}~ \beta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}~.$

Радіуси вписаного та описаного кіл

⃝	N-кутник	Правильний трикутник	Правильний чотирикутник	Правильний шесикутник
R*	a 2*sin(180/n)	a √3	a √2	a
r**	a 2*tg(180/n)	a 2√3	a 2	a√3 2

* R - радіус описаного кола

** r - радіус вписаного кола

Таблиця красивих кутів

√	0◦	30◦	45◦	60◦	90◦	180◦	270◦
sin	0	1 2	√2 2	√3 2	1	0	-1
cos	1	√3 2	√2 2	1 2	0	-1	0
tg	0	1 √3	1	√3	-	0	-
ctg	-	√3	1	1 √3	0	-	0

Рівняння кола

(x - x₀)² + (у - у₀)² = R²

Рівняння будь-якої прямої, що проходить через початок відліку

y = k*x

Рівняння будь-якої прямої

y = k*x + b

Загальний вигляд рівняння прямої

x*a + y*b = c

x(y₂ - y₁) + y(x₂ - x₁) = x₁y₂ - y₁x₂

x - x₁ y - y₁
x₂ - x₁ ‾ y₂ - y₁

Координати середини відрізка

x = (x₁ + x₂)/2

y = (y₁ + y₂)/2

Теорема синусів

Теорема синусів — наступне тригонометричне твердження про властивості кутів та сторін довільного трикутника: нехай a, b і c є сторонами трикутника, а A, B і C — кути протилежні вказаним сторонам, тоді:

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}$

Доведення: Нехай дано трикутник із сторонами a, b, і c, з протилежними кутами A, B, і C. Опустимо перпендикуляр довжиною h з C на c .

Бачимо, що:

$\sin A = \frac{h}{b}$ та $\; \sin B = \frac{h}{a}$

Звідси маємо:

$h = b\,\sin A = a\,\sin B$

а також

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$

Повторимо операцію з кутом A і стороною a, і дістанемо:

$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Теорема косинусів

Теорема косинусів — це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Нехай a, b, і c сторони трикутника, а A, B, і C це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos C . \;$

Доведення: Нехай a, b і c це сторони трикутника, а A, B і C це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B що утворює прямий кут із протилежною стороною, b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді

$\sin C = \frac{x}{a} , \;$ звідки маємо: $x=a \cdot \sin C . \;$

Це означає, що довжина цього відрізку дорівнює $a \cdot \sin C. \;$

Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна $a \cdot \cos C. \;$ Решта довжини b рівна $b - a \cdot \cos C. \;$

Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами $a \cdot \sin C , \;$ $b - a \cdot \cos C , \;$ і гіпотенузою c.

Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

$c^2 = (a \cdot \sin C)^2 + (b - a \cdot \cos C)^2 \;$
$c^2 = a^2 \cdot \sin^2 C + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C + a^2 \cdot \cos^2 C \;$
$c^2 = a^2 \cdot (\sin^2 C + \cos^2 C) + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \;$
$\sin^2 C + \cos^2 C \;$ завжди дорівнює 1, отже
$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \;$

Наслідок: d₁² + d₂² = 2*a² + 2*b²

Формули площі трикутника

Формула Герона: S = sqrt( p*(p - a)(p - b)(p - c))

S = (a*b*c) / 4*R

S = r*(P / 2)

S = (a*b*sin α) / 2

S = a*ha

Формула площі кола

S = $\pi$ *R²

Формули площі ромба

S = (d₁*d₂) / 2

S = a*b*sin α

S = a*ha

S = 2*a*r

Формули площі паралелограма

S = (d₁*d₂*sin α) / 2

S = a*b*sin α

S = a*ha

Серединя лінія трикутника

Середня лінія фігур в планіметрії - відрізок, що з'єднує середини двох сторін цієї фігури.

На даному малюнку середньою лінією є відрізок ED.

За властивістю сер. лінії трикутника :

ED = 0,5*АВ

ED II AB

Серединя лінія трапеції

На даному малюнку середньою лінією є відрізок EF.

За властивістю сер. лінії трикутника :

EF = (AD + BC) / 2

EF II AD II BC

Властивість кута, вписаного в коло

На верхньому малюнку вписаним кутом є кут АВС. Кут АОС - центральний.

За властивістю вписаного кута :

1) Кут, вписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута

АВС = АОС / 2 (див. верхній малюнок)

2) Вписані кути, що спираться на одну й у ж саму дугу - рівні.

(див. нижній лівий малюнок)

3) Вписаний кут, що спирається на діаметр - прямий

4) Вписані кути, які спираються на одну й ту саму хорду та вершини яких лежать по різні боки від хорди, у сумі дорівнюють 180◦

(див. нижній правий малюнок)

Властивість медіани, проведеної до гіпотенузи

На даному малюнку CD - медіана, кут АВС - прямий.

За властивістю вище згаданої медіани:

Медіана дорівнює половині гіпотенузи

CD = AB / 2

CD = AD = DB

Made by Nick Perederiy

Навігація по сайту

Математична сторінка

2 коментарі: